Fatorial e Permutação

ANÁLISE COMBINATÓRIA: Fatorial e Permutação

 

Fonte: Tele Curso 2º grau: Matemática: aula 49. Disponível em:

https://www.youtube.com/watch?v=YTmXciIqGgQ. Acesso em: 07 de julho, 2020.

Permutações Simples e Fatorial de um número

Você sabe o que é Permutar?  Segundo o site "Dicionário online"  Permutar é o mesmo que mudar, alterar ou trocar. Em Matemática,  utilizamos o conceito de Permutar no sentido de trocar objetos de posição.

Veja o exemplo, a seguir:  De quantas maneiras é possível organizar 5 pessoas em uma fila do Caixa eletrônico?

Fonte da imagem ilustrativa: Pessoas na fila do banco. Disponível em: https://br.freepik.com/vetores-gratis/pessoas-esperando-na-fila-pelo-banco_6974933.htm . Acesso em: 07 de julho, 2020.

 Vamos denominar as pessoas das filas como A,B,C,D,E

1ª posição 2ª Posição 3ª Posição 4ª Posição 5ª Posição
A B C D E
B C D E A
C D E A B
D E A B C
E A B C D

 

Neste caso, foi combinado que a pessoa que estava na primeira posição,  fosse para a última posição da fila e assim sucessivamente, então conseguimos  25 permutações. Mas há outras possibilidades para organizar esta fila, como por exemplo: A,B,C,D,E  ou A,B,D,E,C , A,B,E,D,C.

Uma maneira mais simples para saber a quantidade de possibilidades para organizar estas pessoas em uma fila e usar o conceito de Fatorial de um número

 5 4 3 2 1

O raciocínio vem ao encontro dos conceitos apresentados  na aula, sobre  Princípio Multiplicativo.  Ao formar a fila com 5 pessoas, na primeira posição,   temos 5 possibilidades, na 2 posição temos  4 possibilidades, na 3ª posição temos 3 possibilidades, na 4ª posição temos 2 possibilidades e na  5ª posição temos apenas 1 possibilidade. 

Aplicando a multiplicação de possibilidades teremos:

  

5.4.3.2.1 = 120 possibilidades

 

Em matemática, utilizamos os conceitos de FATORIAL,   representado pela letra n! 

  n! = n(n.1)(n-2).(n-3)...3.2.1

A seguir exemplos de como calcular o fatorial:

  • 1! = 1
  • 2! = 2.1 =2
  • 3! = 3.2.1 = 6
  • 4! = 4.3.2.1= 24
  • 5! = 5.4.3.2.1 =120
  • 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720

 

Aplicando os conceitos de Fatorial para calcular Permutação Anagramas das seguintes palavras:

  • PERDÃO:  6! =  720  maneiras para formar anagramas  com as letras da palavra perdão

                               Ou seja P! = n! 

                      P6 = 6!

  • CEU =  P3 = 3! = 6 possibilidades 

 Permutação com elementos repetidos

 

Permutação de elementos repetidos deve seguir uma forma diferente da permutação, pois elementos repetidos permutam entre si. Para compreender como isso acontece veja o exemplo abaixo:

A permutação da palavra BANANA ficaria da seguinte forma:

Sem levar em consideração as letras (elementos) repetidas, a permutação ficaria assim:

P6 = 6! = 720 

Agora, como a palavra  BANANA possui elementos que repetem, como a letra A que repete 3 vezes, a letra N repete 2 vezes , assim a permutação entre si dessas repetições seria 3! . 2! . Portanto, a permutação da palavra BANANA será:   720/12 = 60

Portanto, com a palavra BANANA podemos montar  60 anagramas. 

Seguindo esse raciocínio podemos concluir que, de uma maneira geral, a permutação com elementos repetidos é calculada utilizando a seguinte fórmula:

Dada a permutação de um conjunto com n elementos, alguns elementos repetem n1 vezes, n2 vezes e nn vezes. Então, a permutação é calculada:

Exemplo 1:
Quantos anagramas podem ser formados com a palavra MARAJOARA, aplicando a permutação teremos:


Portanto, com a palavra MARAJOARA podemos formar 7560 anagramas.

 

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